Wie lange muss ich überleben, damit sich eine Rente statt einer Einmalzahlung lohnt?

Das Kriterium der Amortisation ist auf den ersten Blick überzeugend einfach. Es wird der Zeitraum ermittelt, bis das investierte Anfangskapital zurückgeflossen ist. Als Beispiel sei eine Solaranlage mit einer Anschaffungsauszahlung von 10 TEUR und gleichmäßigen jährlichen Überschüssen von 1 TEUR_1;tn angenommen. Zur höheren Präzision tragen die Währungseinheiten einen Zeitindex (vgl. zu dieser erweiterten Schreibweise Hoberg [2018], S. 468 ff.). In dieser statischen Variante werden Zinsen nicht berücksichtigt. Mit diesen Daten ist das Anfangskapital nach 10 ÷ 1 = 10 Jahren wieder im Unternehmen. Daraus wird geschlossen, dass sich das Projekt gelohnt hat. In der Problemstellung der Länge des Rentenbezugs würde dies bedeuten, dass sich die Wahl der Rente dann gelohnt hat, wenn der Bezieher noch mehr als zehn Jahre lebt.

In der statischen Variante wird die Amortisationsdauer also durch die Division des Anfangskapitals (A) durch die gleichmäßigen jährlichen Überschüsse (ü) ermittelt:

Wenn die Überschüsse unterschiedlich hoch sind, lässt sich die Formel nicht anwenden und es muss eine stufenweise Vorgehensweise gewählt werden (vgl. hierzu Varnholt/Hoberg/Wilms/Lebefromm, S. 59 ff.). Zinsen werden in diesem Ansatz nicht berücksichtigt. Wenn für die Daten des obigen Beispiels ein Zinssatz von über 10 % angenommen werden muss, dann liegen die Zinsen über den jährlichen Überschüssen. Eine echte Amortisation tritt somit niemals ein, obwohl das statische Modell dies nach zehn Jahren zeigt und einige Investoren auf dieser Basis positiv entscheiden würden. Somit ist offensichtlich, dass die Kapitalkosten bei der Berechnung der dynamischen Amortisation berücksichtigt werden müssen.

Bei der dynamischen Amortisation gilt der Grundgedanke, dass die Laufzeit so lange ausgedehnt wird, bis die verzinste Summe der Einzahlungen die verzinste Summe der Auszahlungen überholt. Als einheitlicher Vergleichszeitpunkt für alle Verzinsungen bietet sich der Startzeitpunkt (t = 0) an, was mit dem Kapitalwertkriterium gegeben ist (vgl. hierzu Hoberg (2024b), S. 1 ff.). Der Kapitalwert (KW) ergibt sich wie folgt (vgl. z. B. Götze, S. 78 ff., Varnholt/Hoberg/Wilms/Lebefromm, S. 59 ff.):

Beachten Sie | Wenn sich die jährlichen Überschüsse (e_t – a_t) nicht ändern, kann der gleichmäßige Überschuss (ü) ohne Zeitindex geschrieben werden.

Bei vielen Renten können die Überschüsse in allen Jahren durchaus (weitgehend) gleich sein. Dies gilt allerdings nicht für die staatliche Rente, die in den letzten Jahren stark erhöht wurde. Für diesen hier relevanten Spezialfall ergibt sich die dynamische Amortisationsdauer t* wie folgt (vgl. Varnholt/Hoberg/Wilms/Lebefromm, S. 102):

Das obige Beispiel soll nun verallgemeinert werden, damit jeder die kritische Rentendauer für seine persönlichen Verhältnisse berechnen kann. Dazu wird zunächst der realistischere Fall einer monatlichen nachschüssigen Rente zugrunde gelegt. Für das Beispiel bedeutet dies, dass eine Monatsrate von 763 ÷ 12 = 63,58 EUR_1;t* unterstellt wird. Damit ergibt sich für den Fall mit Zinsen eine etwas geringere notwendige Rentendauer von 369,5 Monaten.

Beachten Sie | Ohne Zinsen ist die Frage der monatlichen oder jährlichen Zahlungsweise nicht relevant. In der Realität benötigt der Rentenbezieher das Geld aber offensichtlich eher früher, also monatlich, da auch die Hauptauszahlungen monatlich bedient werden müssen.

In der Tabelle 1 sind verschiedene Zinssätze (ggf. nach Steuern) auf der horizontalen Achse aufgeführt. Geringe Zinssätze von z. B. 2 % dürften den Rentenbezieher abbilden, der sein Geld kurzfristig anlegt. 5 % können für jemanden gelten, der beispielsweise ein Auto finanziert. Die noch höheren Zinssätze sind im Unternehmensumfeld relevant oder wenn eine Privatperson regelmäßig teure Konsumenten- oder sogar Überziehungskredite in Anspruch nimmt.

Gemäß der obigen Formel hängt die Länge der notwendigen Rentenzeit von der Höhe der Einmalauszahlung, der monatlichen Rente und dem effektiven Zinssatz ab. Um die vielen Fälle in einer Tabelle abbilden zu können, muss ein Trick angewendet werden. Dazu wird der Quotient aus Rente und Einmalzahlung gebildet. Zur leichteren Nachvollziehbarkeit wird die Einmalzahlung dabei auf 1.000 EUR normiert:

Anteil: 63,58 ÷ (12.132 ÷ 1.000) = 5,241 EUR_1;t* pro 1.000 EUR Einmalzahlung

Diese monatliche Rente von 5,241 EUR_1;t* pro 1.000 EUR Einmalzahlung ist in der Tabelle 1 auf der senkrechten Achse dargestellt.

Wenn gemäß der ersten Spalte ein Zinssatz von 0 % gilt, muss sich wieder die kritische Zeitdauer des Rentenbezugs von 190,8 Monaten ergeben (fett gedruckt in Tabelle 1). Mit steigendem Zinssatz verlängert sich die notwendige Rentenzeit kontinuierlich, bis sie bei einem effektiven Jahreszinssatz von 7 % nicht mehr berechenbar ist, da die Zinssätze die relative Rente übersteigen. Dies ist in Tabelle 1 mit „n. a.” (nicht anwendbar) gekennzeichnet. Bei einem effektiven Zinssatz von 5 % ergibt sich wieder eine notwendige Rentenzeit von 369,5 Monaten (fett gedruckt).

Beachten Sie | Der große Vorteil der Rente besteht darin, dass sie lebenslang gezahlt wird – selbst wenn der Empfänger weit über 100 Jahre alt wird.

Wie bereits kritisiert, werden bei der Bewertung von Auszahlungen, z. B. für Renten (Verzicht auf Einmalzahlung), aber auch für Photovoltaik, Wärmepumpen usw., häufig nur die statischen Annuitäten ausgewiesen. Diese vernachlässigen leider den wichtigen Effekt der Zinsen. Der Übergang zur dynamischen Amortisation ist also notwendig. Praktisch wäre es, wenn sich die dynamischen Amortisationsdauern einfach aus den statischen Amortisationsdauern ableiten ließen. Dies ist möglich, solange die Überschüsse in jedem Jahr gleich hoch sind, was z. B. bei einigen Renten und Umweltinvestitionen der Fall ist. Zur Berechnung werden die folgenden Informationen benötigt:

Die gesuchte dynamische Amortisationsdauer ergibt sich, wenn zunächst die Anschaffungsauszahlung und der jährliche Überschuss analysiert werden. Da die statische Amortisation bekannt ist, ist auch das Verhältnis der beiden Größen bekannt. Bei einer statischen Amortisation von 10 ist die Anschaffungsauszahlung zehnmal so groß wie der jährliche Überschuss. Damit lässt sich dann die Formel für die dynamische Amortisation füllen.

In der Tabelle 2 sind die dynamischen Amortisationsdauern für unterschiedliche Kombinationen von statischer Amortisationsdauer und Zinssatz aufgeführt:

Für die aus dem Beispiel bekannte Kombination der statischen Amortisation von 15,9 Jahren (in den Zeilen) und dem Zinssatz von 5 % (in den Spalten) ergibt sich erneut die dynamische Amortisationsdauer von 32,48 Jahren (fett gedruckt in Tabelle 2). Es findet also die bekannte Verdopplung statt. Bei noch höheren Zinssätzen (rechte Spalten) verschlechtert sich die Vorteilhaftigkeit für die Rente weiter. Wenn sogar ein Zinssatz von 10 % erreicht wird, ist eine Amortisation nur noch dann möglich, wenn die statische Amortisation unter zehn Jahren liegt. Ansonsten bleibt nichts mehr für die Rückzahlung des Kapitals übrig. Dieser Fall ist in den Tabellen mit „n. a.“ ausgewiesen.

Beachten Sie | Aufgrund der teilweise wesentlichen Verlängerung gegenüber der statischen Amortisation ist eine echte Vorteilhaftigkeit häufig nicht mehr gegeben. Diese kann nur bestehen, wenn niedrige Zinssätze vorliegen. Ein privater Investor, der sein Geld z. B. schlecht bzw. sehr vorsichtig in Termingeld anlegt, wäre dann eventuell noch mit einer Rente gut bedient.

In Tabelle 2 wurde der üblichen impliziten Annahme gefolgt, dass alle Überschüsse eines Jahres am Jahresende anfallen. Dies ist wenig realistisch, da die Vorteile (d. h. die Rentenzahlungen) häufig monatlich nachschüssig anfallen.

Da die Überschüsse bereits monatlich und somit früher im Jahr eintreffen, verkürzt sich die dynamische Amortisationsdauer von 32,48 auf 30,79 Jahre. Dieser Wert ist in Tabelle 3 fett gedruckt. Auch wenn die Amortisationsdauer dadurch etwas kürzer ausfällt, ist es kein tolles Angebot. Bei einem Rentenbeginn mit 65 müsste ein Lebensalter von über 95 Jahren erreicht werden.

Die weiteren Zusammenhänge bleiben unverändert. Steigende Zinsen führen zu einer wesentlichen Verlängerung der dynamischen Amortisation, was nachvollziehbar ist. Denn das bedeutet, dass die konkurrierende Einmalzahlung besser verzinst wird.